le 24 mars 2020
Gilbert Reinisch, de l'Observatoire de la Côte d'Azur, montre au moyen d’une seule équation qu'on peut illustrer la progression actuelle de l’épidémie de covid-19. Il explique pourquoi la forme de cette évolution a d’abord suscité l’incrédulité publique face au danger. Un peu comme on ne voit pas venir un tsunami dans l’océan. Néanmoins, la France semble avoir pris les mesures nécessaires in extremis pour tempérer l’explosion du nombre de victimes.
Par Gilbert Reinisch, Observatoire de la Côte d’Azur, Université Côte d'Azur - Université d’Islande, Reykjavik
contact : gilbert.reinisch@oca.eu ; gilbert@hi.is
Introduction
Cette étude est motivée par deux déclarations de nos deux derniers ministres de la santé publique : Agnès Buzin et Olivier Véran. La première a explicitement mentionné l’image d’un « tsunami » pour évoquer fin janvier devant le premier ministre l’épidémie de Covid-19. Le second a justifié, dans un but pédagogique, les mesures drastiques prises récemment par le gouvernement en dessinant sur une feuille de papier, et en direct sur un plateau de télévision, une courbe en cloche de type gaussienne et son amortissement ultérieur.
Cette étude souhaite montrer, à l’aide de mathématiques très simples (niveau : débutant à l’université) et en se concentrant essentiellement sur l’exemple italien (de loin le plus emblématique de la propagation du virus en Europe), que la première a eu raison et que le second a eu tort.
La théorie
Soit P=6.05 107 la population italienne. Si je postule pour la phase initiale de la mortalité due à l’épidémie une loi exponentielle, elle doit avoir la forme suivante :
N(t) = P A [exp(t/T)-1] ~ P A exp(t/T) (1)
dès lors que t >> T, ce qui sera le cas tout au long de cette étude.
La mortalité A [exp(t/T)-1] intrinsèque à l’épidémie au cours du temps t (et donc susceptible d’être adoptée dans d’autres conditions géographiques comme par exemple en France : voir plus loin) est définie par les deux paramètres suivants qui lui sont propres : son amplitude A et le temps caractéristique T. Ce dernier est le temps au bout duquel on observe une augmentation exponentielle de la mortalité, autrement dit une multiplication de cette mortalité par un facteur e (environ 2,72) tous les « T » jours pendant une certaine durée de l’épidémie.
La fonction N(t) est le nombre de décès dus au Covid-19 par jour (unité de temps de cette étude). L’amplitude A de la mortalité ainsi que son temps caractéristique T sont les deux paramètres à déterminer.
Le choix de l’origine des temps est pris par convention au début de l’année 2020, au 01/01/2020. On peut vérifier a postériori que ce choix n’influe pas de façon significative sur les résultats dans la mesure où, on le verra, la phase initiale de la variation de la mortalité N(t) est longue et d’amplitude A très faible.
Il reste donc les 2 inconnues A et T à déterminer. Il faut 2 équations et vérifier ensuite que le système correspondant à ces 2 équations à 2 inconnues admet une solution. C’est en effet une condition nécessaire –mais naturellement pas suffisante : seule la comparaison avec les données réelles le permettra comme on le verra plus loin—pour valider une loi exponentielle de type Eq. (1).
J’ai choisi les 2 données suivantes à partir d’une synthèse des informations fournies dans les média :
27/2/2020 <=> t=58 : N ~ 21 décès (2a)
17/3/2020 <=> t=78 : N ~ 2200 décès (2b)
La solution du système des 2 équations à 2 inconnues permettant à la solution (1) de vérifier les valeurs (2) est triviale :
T = 20 / log (100) ~ 4.34 (3a)
A = (21/P) exp(-58/T) ~ 5.50 10-13 , (3b)
et elle conduit à la formule simple suivante :
N(t) = 21 exp[ (t-58)/T ] . (4)
Cette solution a ceci de remarquable que :
Le temps caractéristique T=4.34 jours est extrêmement court, comparé par exemple à la période d’activité du Covid-19 pour chaque cas d’infection, estimée au maximum à une quinzaine de jours.
L’amplitude A de la mortalité est également extrêmement faible.
Cependant on remarquera que cette amplitude n’intervient que comme élément de calcul intermédiaire et disparait ensuite pour conduire au résultat particulièrement simple (4) dont le graphe –reproduit à partir du 9/2/2020 pour plus de précision dans la lecture— est illustré par la figure ci-dessous :
Courbe de progression de l'épidémie
J’ai indiqué par des cercles les données issues de l’Organisation Mondiale de la Santé (OMS) à la date du 26 mars 2020 telles qu’elles figurent sur le web
. On voit que le modèle décrit par les équations (1-4) est raisonnablement fiable.
J’ai en outre également indiqué par des croix les données OMS correspondantes à la France –dont la population est proche de celle de l'Italie— et, pour information par des flèches, les débuts respectifs du confinement de la population.
La tendance actuelle pour la France semble s’orienter vers une croissance exponentielle plus modérée par rapport à l’Italie, avec en outre une dizaine de jours de retard. De plus, la décision française de confiner la population est intervenue à t=75 (flèche de droite sur la figure 1), c’est-à-dire en légère avance sur la phase de croissance rapide que l’on peut faire débuter à t=79 jours. Est-ce la raison d’une croissance exponentielle moins forte par rapport au cas italien ? Dans ce cas, on peut espérer parvenir assez rapidement à l’écart à la loi de croissance exponentielle du nombre de décès, signe avant-coureur de l’amorce du phénomène de saturation puis de celui de décroissance. Mais le présent modèle ne permet pas de décrire ces deux phases ultérieures non-exponentielles.
En dérivant la formule (4) pour t=78 (i.e. à la date 17/3/2020) :
dN/dt = (21/T) exp[(t-58)/T)] @ t=78
dN = (21/T) exp(20)/T) = 484 décès pour dt=1 (5)
(l’unité de temps est en effet 1 jour =24h) ,
et en comparant ce nombre 484 d’accroissement de décès en une seule journée avec l’information du nombre correspondant, 475, donné par les media concernant l’Italie, on obtient une validation supplémentaire du présent modèle.
Discussion des résultats
La grande surprise réside bien entendu dans l’existence apparente de deux "phases" très distinctes sur la figure 1 :
une première phase quasi-plate et d'amplitude très faible pour t < 60 jours
puis très brutalement une phase explosive pour t > 70 jours
Je pense que cette structure complexe à 2 phases fortement distinctes est la source de beaucoup de malentendus et/ou de l’incrédulité de ces derniers temps.
En effet :
L' "explosion" est soudaine, et ce après une longue période de grand calme: d'où l'incrédulité de la population et de ses dirigeants, media etc..., habitués par cette longue phase plate à une notion de maladie bénigne.
On pouvait ainsi penser que des mesures drastiques de réduction de l’interaction sociale dans la population étaient fortement exagérées dans cette première et longue phase dite "calme". Il s’avère que c'était une grave erreur sachant maintenant la violente explosion que cette longue phase calme amorce.
Ce phénomène rappelle fortement –mais de façon évidemment purement qualitative— celui du raz-de-marée hydrodynamique par la soudaineté de l’explosion verticale d’une vague solitaire (ou soliton hydrodynamique de type KdV) initialement très étalée et quasi-plate sur l'océan, dès lors que la profondeur du fond marin varie aux abords des côtes (la variation de cette profondeur joue alors le rôle de la variation du temps ici).
Pour cette raison, les habitants des côtes, incrédules, appellent un tel phénomène une "lame de fond" car elle leur semble jaillir soudainement « de nulle part » (i.e. du fond de la mer) alors qu'elle peut avoir en fait existé et voyagé, mais très étalée et pratiquement invisible, sur des milliers de km. Pour les Japonais, il s’agit d’un tsunami.
Le présent modèle confirme l’intuition de la précédente ministre de la santé publique lorsqu’elle a évoqué ce phénomène fin janvier 2020 pour avertir le premier ministre de l’imminence du grave danger encouru.
Par contre, il émet des réserves sur l’usage d’une courbe en cloche (de type gaussienne) dessinée par l’actuel ministre de la santé publique à des fins pédagogiques alors que la France était encore dans sa phase dite « plate » – « le calme avant la tempête » — de la figure 1. En effet, une telle courbe et son étalement ultérieur interviennent beaucoup plus tardivement, à un moment où on est déjà largement entré dans le régime de la croissance exponentielle explosive comme l’illustre la situation actuelle de l’Italie.
Dans le premier cas (tsunami) on met l’accent sur l’émergence du phénomène et, donc, sur son danger immédiat ; dans l’autre (atténuation et étalement d’une courbe en cloche), sur sa phase finale.
Conclusion
L'Italie a pris trop tardivement (c'est à dire en étant déjà entrée dans la phase explosive : cf. flèche de gauche sur la figure 1) la décision d'une rigoureuse réduction des interactions sociales au sein de la population par une mesure de confinement en vue d’une diminution du mode de propagation du virus. C'est pour cela que l'effet de saturation tarde à se manifester. En effet, le nombre de décès italiens continue malheureusement à croitre en suivant assez fidèlement l’exponentielle (4), quoiqu’avec un écart semble-t-il croissant. Ce qui pose la question: comment se fait-il qu'après une vingtaine de jours de confinement strict, on ne voit aucun changement notable dans le cas italien sur ce graphe?
La loi exponentielle (4) cessera d’être valable dès que les effets (non linéaires) entraînant un phénomène de saturation apparaîtront sous la forme d'une nette diminution de la mortalité par rapport à la croissance exponentielle (4).
Pour ce qui concerne la France, la dizaine de jours de décalage avec l'Italie et la croissance exponentielle moins forte conforte l'intérêt d'une rigoureuse réduction des interactions sociales au sein de la population. Il ne m’appartient pas de juger dans cette étude strictement mathématique (et au demeurant triviale quoique confortée par les chiffres de l’OMS) de la pertinence du degré de confinement que le gouvernement entend imposer.
Cependant, en tant que citoyen, je souhaite souligner les risques sévères –en particulier sur le plan de la psychologie et de la sociologie au sein d’une population aux conditions de vie très diverses— qu’une mesure excessive de long et rigoureux confinement pourrait entraîner. Nul doute que si l’image forte du tsunami avait été rendue publique dès fin janvier 2020, les mesures de limitation des contacts sociaux auraient pu être progressives et, partant, plus facilement vécues par la population.
Tende, le 22 mars 2020
